«Новые Перельманы». 6 математических загадок, на которых можно мгновенно разбогатеть

Для этого надо всего лишь сесть, подумать и решить одну из математических «проблем тысячелетия».

7Х7

С прошлого столетия количество таких проблем уменьшилось почти в четыре раза. Когда известный немецкий математик Дэвид Гилберт в самом начале XX века выступил на международном математическом конгрессе в Париже, составленный им список математических и логических задач, которые необходимо было решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых речь была начата, и которые, будучи уже упомянутыми, не вошли в основной список. Настолько они казались Гилберту само собой разумеющимися.

Всего к концу века было полностью решено 20 проблем. Первой из представленных и последней из решенных стала великая теорема Ферма. Две из оставшихся задач были решены частично, две открыты до сих пор, одна — о математическом описании физических аксиом — признана нематематической, и одна — о прямой, как кратчайшем соединении двух точек, — объявлена слишком расплывчатой, из-за чего невозможно было понять, решена она или нет. Что интересно: все 20 задач были решены совершенно бесплатно. Решение задач Гилберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не подразумевало.

Новый список, составленный уже в начале этого века, мировых математических проблем насчитывал всего семь. В отличие от гилбертовского, в нынешнем списке, названном Millennium Prize Problems («Призовые проблемы тысячелетия») за решение каждой из них Математическим институтом Клэя (Clay Mathematics Institute) (Кембридж, Массачусетс, США) была назначена премия в $1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано именно семь по числу выделенных на их решение миллионов.

Антитеза

Первый Клэйевский миллион был присужден 18 марта 2010 года 43-летнему российскому математику, сотруднику Санкт-Петербургского отделения Математического института имени Стеклова, Григорию Перельману, решившему так называемую «проблему Пуанкаре».

Считается, что одна из причин, по которой этот питерский математик, которого британская газета The Daily Telegraph поставила на 9 место в списке ста ныне живущих гениев, отказывается общаться с российскими журналистами, — их вопиющая фамильярность и некомпетентность. И это правда. Сплошь и рядом Григория Яковлевича в статьях величают даже не Григорием, а Гришей, а его отцом называют великого популяризатора науки, автора «Занимательной физики», «Занимательной математики», «Занимательной геометрии» и других занимательных книжек Якова Перельмана. При этом авторы статей не удосуживаются даже открыть энциклопедию и выяснить, что Яков Исидорович умер от голода в блокадном Лененграде в 1942 году, а Григорий Яковлевич родился только в 1966, спустя 24 года.

Мальчик еще в школе проявлял немалые способности, и не только в математике, но и в музыке. В дополнение к обычной он ходил еще в музыкальную школу, где занимался скрипкой, и в математический центр при Дворце пионеров. Уже в старших классах перевелся в специализированную физико-математическую школу, которую и закончил с серебряной медалью. Получить золотую помешала слабая физическая подготовка: будущий математический гений как ни старался, так и не смог сдать нормы ГТО.

После школы перед ним, как перед медалистом, встал тяжелый выбор, куда идти без экзаменов — в Консерваторию или на матмех ЛГУ. Победила страсть к математике. Университет он окончил с отличием. В 1990 году Григорий Яковлевич защитил кандидатскую диссертацию и уехал работать в США, откуда вернулся спустя шесть лет. Тогда же ему присудили премию Европейского математического общества для молодых математиков, однако Григорий Яковлевич отказался ее получать. Работал ведущим научным сотрудником лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ), но в 2005 году уволился и почти полностью прервал контакты с внешним миром. А год спустя ему, за решение одной из «Призовых проблем», а именно «проблемы Пуанкаре», была присуждена главная премия среди математиков — «Медаль Филдса» (денежный эквивалент — 15 000 канадских долларов, по сегодняшнему курсу — 432 000 рублей).

Но Перельман отказался и от «Медали Филдса». Два года эксперты проверяли верность его решения. И только в 2010 году ученый совет института Клэя объявил, что ошибок и подтасовок не найдено, и российский математик может приезжать за деньгами. Однако Перельман объявил, что не собирается лететь в Кембридж. От прочих вариантов передачи миллиона долларов он тоже отказался. В одном из немногочисленных интервью он так объяснил свой поступок:

— Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина — это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой.

А совсем недавно, в еще одном интервью, Григорий Яковлевич признался:

— Я научился вычислять пустоты, вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот». Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности... Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите — зачем же мне бежать за миллионом?!

Что в остатке

Как бы там ни было, один миллион уже ушел. Но осталось еще шесть. За что еще их можно получить?

Профессор Свинетрон-Дайер. Фото с сайта Кэмбриджского университета.

► Гипотеза Берча и Свинертон-Дайера

«Философским камнем» математики можно назвать уравнения вида xⁿ+yⁿ+zⁿ+.....=tⁿ. Самое простое, — x²+y²=z² (например 3²+4²=5²), — полностью исследовал еще за 300 лет до рождества Христова Евклид. Самое знаменитое из подобных уравнений стало основой для теоремы Ферма. А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 году Эйлер. Ему удалось соорудить следующее равенство: 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734. Универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Однако известно, что у каждого из них может быть либо конечное, либо бесконечное число решений. Математики Берч и Свинертон-Дайер в 1960 году создали метод, по которому каждое такое уравнение можно свести к более простому, называемому дзета-функцией. По их выведенному экспериментальным путем, но теоретически не доказанному предположению, если эта функция в точке 1 будет равна 0, то количество решений искомого уравнения будет бесконечным. В противном случае, их либо вообще не будет, как в случае с теоремой Ферма, либо их будет какое-то ограниченное количество. Ни доказать, ни опровергнуть это утверждение пока никто не смог.

► Гипотеза Ходжа

Исследовать объект тем сложнее, чем сложнее он устроен. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить его на объекты более простые, работать с которыми, как понятно, проще. Проблема в том, что просто разложить объект на составляющие получается далеко не всегда. Иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что из себя представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Проще говоря, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, что собой представляет составленный из них дом, как он выглядит, и по каким правилам его строят. Для этого нужно, как минимум, изучить еще и заключенное между ними пустое пространство комнат. Профессор Кембриджа Вильям Ходж в своих трудах в 1941 году описал условия, при которых, как ему кажется, такие непонятные «лишние» части не могут возникать и в которых любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение, составив его математическую модель. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже 70 лет.

► Уравнения Навье-Стокса

Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки — подобные волнам воздушные завихрения. Все эти явления описываются созданными еще в 1822 году уравнениями Навье-Стокса. Несмотря на то, что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только методом НТ («научного тыка»): подставляя уже известные значения скорости, времени, давления, плотности и так далее и проверяя, подходят ли они друг к другу. Если кто-нибудь найдет метод решения, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя из равенства все необходимые параметры. Это сделает ненужными аэродинамические испытания. Впрочем, премию математик получит и в том случае, если докажет, что метода решения нет.

Математик Леонид Левин. Фото с персональной страницы на сайте Бостонского университета.

► Проблема Решения-Проверки (Проблема Кука-Левина)

Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно тоже происходит при решении любой задачи. Все мы прекрасно понимаем, что на проверку какого-нибудь решения времени уходит обычно меньше, чем на само решение. Понимать-то понимаем, а доказать сей простой и, казалось бы, логичный факт, как оказалось, не можем. А поэтому, если вам удастся найти такую задачу, проверка правильности решения которой, независимо от способа проверки, будет занимать времени больше, чем само решение — срочно связывайтесь с институтом Клэя, и через два года вы станете обладателем миллиона долларов. Решение сформулированной в 1971 году «проблемы Кука», по словам ученых, приведет к настоящей революции в области криптографии и к появлению систем шифрования, которые просто невозможно будет взломать. Очень грубо: появятся шифры, проверка правильности взлома которых будет происходить бесконечно долго.

► Гипотеза Римана

Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить ни на что-то более мелкое, чем они сами: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и так далее. Такие числа называются «простыми» и они для математиков крайне важны. Как они распределяются по числовому ряду — пока известно одному Богу. Риман в 1859 году даже не предложил способ их поиска или проверки. Проверить, является ли число «простым» или нет, можно только попробовав разделить его на все меньшие числа (самое большое из известных на сегодняшний день «простых» было найдено в августе 2008 года и состоит из 12 978 189 цифр). Он просто нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами «простых». Сбоев пока найдено не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на полтора триллиона первой проверке. А, поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гилберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных — в сотовых сетях, в сети Интернет и так далее, — ее доказательство имеет весьма практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.

► Уравнения Янга-Миллса

Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-Нин Янг и Роберт Миллс составили в 1954 году, наблюдая за движением элементарных частиц. Выведенные почти на чистой интуиции они, тем не менее, замечательно описывают почти все виды их взаимодействий. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом были действительно найдены физиками-ядерщиками крупнейших мировых лабораторий — Brookhaven, Stanford и CERN. Правда, с помощью теории Янга-Миллса невозможно правильно предсказать массу частиц, однако, несмотря на это, уравнениями смело пользуются почти все ядерщики мира. Хотя до сих пор непонятно, как они работают и, вообще, так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти — наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но, если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто вам не запретит постараться решить еще и эту. Дерзайте — и обрящете. 

А может, подождать?

Профессор Эндрю Уайлс. Фото с сайта Принстонского университета.

Фамилию Перельмана сейчас помнит весь цивилизованный мир. А вот кто такой Эндрю Уайлс знают лишь специалисты. Но ведь это именно он в 1995 году исполнил многовековую мечту математиков — доказал сформулированную еще в 1637 году Великую теорему Ферма. За ее решение в 1908 году тоже была объявлена специальная премия в 100 000 немецких марок, что для начала прошлого века было чрезвычайно много. Однако две мировых войны и связанная с ними инфляция весьма сильно ее урезали. Настолько, что математик получил за свой труд чисто символическую сумму, примерно эквивалентную 15 долларам. А подождал бы Уайлс с публикацией своего доказательства лет 6-7, теорему Ферма обязательно включили бы в «Призовые проблемы тысячелетия» и оценили бы в миллион. И тогда математик стал бы очень богатым. Или очень знаменитым. Как Григорий Перельман.